Question

4．已知函数f（x）=-$\frac{1}{3}{x^3}+{x^2}$+ax-4在x=3处取得极值，则当f（sinα）+f′（cosβ），α，β∈[0，2π）取得最大值时，α+β=（　　）

• A． 0
• B． $\frac{π}{2}$
• C． π
• D． $\frac{3π}{2}$

Answer 1

分析 令导函数当x=3时为0，列出方程求出a值；设m=sinα，n=cosβ，利用二次函数f′（n）的最大值，利用导数求出f（m）的最大值，它们的和即为f（m）+f′（n）的最大值，结合三角函数值进行求解即可．

解答 解：∵f（x）=-$\frac{1}{3}{x^3}+{x^2}$+ax-4在x=3处取得极值，
∴f′（3）=0，
∵f′（x）=-x²+2x+a，
∴f′（3）=-9+6+a=0，
解得a=3，
则f（x）=-$\frac{1}{3}$x³+x²+3x-4，
令m=sinα，n=cosβ，
∵α，β∈[0，2π），
∴m，n∈[-1，1]，
则f′（cosβ）=f′（n）=-n²+2n+3=-（n-1）²+4，
∴当n=1时，f′（cosβ）取得最大值，此时cosβ=1，则β=0，
f（sinα）=f（m）=-$\frac{1}{3}$m³+m²+3m-4，
f′（m）=-m²+2m+3=-（m-3）（m+1），
则当-1≤m≤3时，f′（m）≥0，此时函数f（m）单调递增，
则当m=1时，f（m）取得最大值，此时有sinα=1得α=$\frac{π}{2}$，
故若f（sinα）+f′（cosβ），α，β∈[0，2π）取得最大值时，
则等价为f（sinα）和f′（cosβ），α，β∈[0，2π）同时取得最大值，
此时α=$\frac{π}{2}$，β=0，
则α+β=$\frac{π}{2}$+0=$\frac{π}{2}$，
故选：B

点评 本题主要考查函数极值和最值的应用，利用导数是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．