Question

14．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，第n个三角形数为$\frac{n（n+1）}{2}$=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{1}{2}$n．记第n个k边形数为N（n，k）（k≥3），以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：
三角形数             N（n，3）=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{1}{2}$n
四边形数             N（n，4）=n²
五边形数             N（n，5）=$\frac{3}{2}$n²-$\frac{1}{2}$n
六边形数             N（n，6）=2n²-n
…
可以推测N（n，k）的表达式，由此计算N（20，15）的值为2490．

Answer 1

分析 观察已知式子的规律，并改写形式，归纳可得N（n，k）=$\frac{k-2}{2}$n²+$\frac{4-k}{2}$n，把n=20，k=15代入可得答案．

解答 解：原已知式子可化为：N（n，3）=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{1}{2}$n=$\frac{3-2}{2}{n}^{2}+\frac{4-3}{2}n$，
N（n，4）=n²=$\frac{4-2}{2}{n}^{2}+\frac{4-4}{2}n$，
N（n，5）=$\frac{3}{2}$n²-$\frac{1}{2}$n=$\frac{5-2}{2}{n}^{2}+\frac{4-5}{2}n$，
N（n，6）=2n²-n=$\frac{6-2}{2}{n}^{2}+\frac{4-6}{2}n$，
由归纳推理可得N（n，k）=$\frac{k-2}{2}$n²+$\frac{4-k}{2}$n，
故N（20，15）=$\frac{15-2}{2}×{20}^{2}+\frac{4-15}{2}×20$=2490，
故答案为：2490

点评 归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．