Question

9．设函数f（x）=x²+bln（x+1），其中b≠0．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）证明：当b=1时，对于任意的x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁≠x₂都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＞\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 （1）确定函数定义域为（-1，+∞），求导数，考查方程2x²+2x+b=0在（-1，+∞）上解的情况，利用导数的正负可得函数的单调性；
（2）将a=1代入可得函数f（x）解析式，构造函数g（x）=f（x）-$\frac{5}{2}$x，分析函数g（x）在[1，+∞）上的单调性，进而根据单调性的定义可得结论．

解答 解：（1）函数定义域为（-1，+∞），
求导数得f′（x）=2x+$\frac{b}{x+1}$=$\frac{{2x}^{2}+2x+b}{x+1}$，
记g（x）=2x²+2x+b，
①当g（x）=0在（-1，+∞）上无解，即b≥$\frac{1}{2}$时，f（x）在（-1，+∞）单调递增，
②当g（x）=0在（-1，+∞）有两个不等实根，即2x²+2x+b=0在（-1，+∞）有两个不等实根，
则 $\left\{\begin{array}{l}{△=4-8b＞0}\\{g（-1）＞0}\end{array}\right.$，即0＜b＜$\frac{1}{2}$时，f（x）在（-1，$\frac{-1-\sqrt{1-2b}}{2}$）单调递增，
在（ $\frac{-1-\sqrt{1-2b}}{2}$$\frac{-1+\sqrt{1-2b}}{2}$，）单调递减，在（ $\frac{-1+\sqrt{1-2b}}{2}$，+∞）单调递增
③当g（x）在（-1，+∞）仅有一实根，
即b=$\frac{1}{2}$时，f（x）在（-1，$\frac{-1+\sqrt{1-2b}}{2}$）单调递减，在（$\frac{-1+\sqrt{1-2b}}{2}$，+∞）单调递增；
证明：（2）b=1时，f（x）=x²+ln（x+1），
令g（x）=f（x）-$\frac{5}{2}$x=x²+ln（x+1）-$\frac{5}{2}$x（x≥1），
则g′（x）=2x+$\frac{1}{x+1}$-$\frac{5}{2}$=$\frac{（4x+3）（x-1）}{2（x+1）}$，
当x≥1时，g′（x）≥0，所以函数g（x）在[1，+∞）上是增函数，
由已知，不妨设1≤x₁＜x₂＜+∞，则g（x₁）＜g（x₂），
所以f（x₁）-$\frac{5}{2}$x₁＜f（x₂）-$\frac{5}{2}$x₂，
即$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＞\frac{5}{2}$．

点评 本题考查的知识点是利用函数研究函数的单调性，恒成立问题，是导数的综合应用，难度较大，构造合适的函数是解答的关键．