Question

20．已知圆C的方程为：x²+y²-2mx-2y+4m-4=0，（m∈R）．
（1）试求m的值，使圆C的面积最小，并写出此时圆C的方程；
（2）求与（1）中所求的圆C相切，且过点（1，-2）的直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）通过配方先将圆的一般方程化成标准方程，利用二次函数的最值，可得m的值，并写出此时圆C的方程；
（2）根据（1）的结论确定圆的方程，然后设出直线方程，利用直线与圆相切的条件，建立关系，求得直线方程．

解答 解：配方得圆的方程：（x-m）²+（y-1）²=（m-2）²+1
（1）当m=2时，圆的半径有最小值1，此时圆的面积最小；圆的方程为（x-2）²+（y-1）²=1．
（2）当m=2时，圆的方程为（x-2）²+（y-1）²=1
设所求的直线方程为y+2=k（x-1），即kx-y-k-2=0
由直线与圆相切，得$\frac{|2k-1-k-2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，∴k=$\frac{4}{3}$．
所以切线方程为y+2=$\frac{4}{3}$（x-1），即4x-3y-10=0
又过点（1，-2）且与x轴垂直的直线x=1与圆也相切
∴所求的切线方程为x=1与4x-3y-10=0．

点评 本题考查了圆的方程以及直线与圆的位置关系，同时考查了二次函数的最值问题，在求直线方程时注意考虑斜率不存在的情况，是个中档题．