Question

15．如果关于x的不等式$a≤\frac{5}{9}{x^2}-\frac{10}{3}x+6≤b$的解集是[x₁，x₂]∪[x₃，x₄]，x₁＜x₂＜x₃＜x₄，则$\sum_{i=1}^4{x_i}$=12．

Answer 1

分析 根据一元二次不等式的解集与对应一元二次方程之间的关系，利用根与系数的关系，即可求出结果．

解答 解：因为关于x的不等式a≤$\frac{5}{9}$x²-$\frac{10}{3}$x+6≤b的解集是[x₁，x₂]∪[x₃，x₄]，且x₁＜x₂＜x₃＜x₄，
所以x₂，x₃是方程$\frac{5}{9}$x²-$\frac{10}{3}$x+6=a的两根，
由根与系数的关系得：x₂+x₃=$\frac{\frac{10}{3}}{\frac{5}{9}}$=6；
x₁，x₄是方程$\frac{5}{9}$x²-$\frac{10}{3}$x+6=b的两根，
所以，x₁+x₄=$\frac{\frac{10}{3}}{\frac{5}{9}}$=6；
所以$\sum_{i=1}^{4}$x_i=x₁+x₂+x₃+x₄=12．
故答案为：12．

点评 本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题目．