Question

5．如图是函数 f（x）=Asin（ωx+φ） （A＞0，ω＞0，$|φ|＜\frac{π}{2}$）在一个周期的图象．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）设0＜α＜π，若方程f（x）=m有两个不同的实数根，求实数m的取值范围和这两个根的和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据三角函数图象确定A，ω和φ的值即可求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）根据三角函数的单调性即可求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）分别作出f（x）和y=m的图象，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）显然A=2，…（1分）
又图象过（0，1）点，∴f（0）=1，
∴$sinϕ=\frac{1}{2}$，∵$|ϕ|＜\frac{π}{2}$，∴$ϕ=\frac{π}{6}$；
…（2分）
由图象结合“五点法”可知，$（\frac{11π}{12}{，^{\;}}0）$对应函数y=sinx图象的点（2π，0），
∴$ω×\frac{11π}{12}+\frac{π}{6}=2π$，ω=2．…（4分）
所以所求的函数的解析式为：$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）$．…（5分）
（Ⅱ）当$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}，（k∈z）$时，函数$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）$
单调递增，即$2kπ-\frac{2π}{3}≤2x≤2kπ+\frac{π}{3}，（k∈z）$．…（7分）
解得$kπ-\frac{π}{3}≤x≤kπ+\frac{π}{6}（k∈z）$．…（8分）
故函数$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）$单调递增区间为$[kπ-\frac{π}{3}，kπ+\frac{π}{6}]（k∈z）$．…（9分）
（Ⅲ）如图所示，在同一坐标系中画出$y=2sin（2x+\frac{π}{6}）$和y=m（m∈R） 的图象，
由图可知，当-2＜m＜1或1＜m＜2时，
直线y=m与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根．…（10分）
∴m的取值范围为：-2＜m＜1或1＜m＜2；…（12分）
当-2＜m＜1时，两根和为$\frac{π}{3}$；当1＜m＜2时，两根和为$\frac{4π}{3}$．…（14分）

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象确定函数的解析式是解决本题的关键．要求熟练掌握三角函数的图象和性质．