Question

14．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，首项a₁=1，且对于任意n∈N₊，都有na_n+1=2S_n
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设${b_n}=\frac{1}{{{a_{n+1}}{a_n}_{+3}}}$，且数列的前n项之和为T_n，求证：${T_n}＜\frac{5}{12}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过na_n+1=2S_n与（n-1）a_n=2S_n-1（n≥2）作差、整理可得当n≥2时$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n+1}{n}$，利用累乘法可知a_n=$\frac{n}{2}$•a₂（n≥3），进而计算可得结论；
（Ⅱ）通过a_n=n、裂项可知b_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+3}$），并项相加即得结论．

解答 （Ⅰ）解：∵na_n+1=2S_n，
∴（n-1）a_n=2S_n-1（n≥2），
两式相减得：na_n+1-（n-1）a_n=2（S_n-S_n-1）=2a_n，
∴na_n+1=（n+1）a_n，
即当n≥2时，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n+1}{n}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$•$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…•$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=$\frac{n}{n-1}$•$\frac{n-1}{n-2}$•…•$\frac{3}{2}$，即$\frac{{a}_{n}}{{a}_{2}}$=$\frac{n}{2}$，
∴a_n=$\frac{n}{2}$•a₂（n≥3），
又∵a₂=2S₁=2a₁=2，
∴a_n=n（n≥3），
经验证，此结果也满足a₁，a₂，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=n；
（Ⅱ）证明：∵a_n=n，
∴${b_n}=\frac{1}{{{a_{n+1}}{a_n}_{+3}}}=\frac{1}{（n+1）（n+3）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+3}）$，
∴${T_n}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+3}）$
=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}）＜\frac{1}{2}×（\frac{1}{2}+\frac{1}{3}）=\frac{5}{12}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．