Question

设函数f（x）=1-e^-x，证明：当x＞-1时，f（x）≥

x

x+1

．

Answer 1

分析：把给出的不等式f（x）≥

x

x+1

等价变形，然后构造函数，求出函数的导函数，利用导函数的符号判断原函数的单调性，从而求出最小值，原不等式得到证明．

解答：证明：由1-e-x≥

x

x+1

?e^x≥1+x．
当x＞-1时，f（x）≥

x

x+1

当且仅当e^x≥1+x．
令g（x）=e^x-x-1，则g′（x）=e^x-1．
当x≥0时，g′（x）≥0，g（x）在[0，+∞）上为增函数，
当x≤0时，g′（x）≤0，g（x）在（-∞，0]上为减函数，
于是g（x）在x=0处达到最小值，因而当x∈R时g（x）≥g（0），
即e^x≥1+x．
所以当x＞-1时，f（x）≥

x

x+1

．

点评：本题考查了利用导数求函数在闭区间上的最值，考查了数学转化思想方法，考查了函数构造法，是中档题．