Question

已知抛物线x²=4y，直线l：y=x-2，F是抛物线的焦点．
（Ⅰ）在抛物线上求一点P，使点P到直线l的距离最小；
（Ⅱ）如图，过点F作直线交抛物线于A、B两点．
①若直线AB的倾斜角为135°，求弦AB的长度；
②若直线AO、BO分别交直线l于M，N两点，求|MN|的最小值．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）求导数，利用P点的切线与直线l平行，即可求出P的坐标；
（Ⅱ）①直线AB的方程为y=-x+1，代入抛物线方程，利用弦长公式，可求弦AB的长度；
②求出M，N的横坐标，表示出弦长，利用换元、配方法，即可求出|MN|的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）设P（x，y），
∵x²=4y，∴y=

x2

4

，∴y′=

1

2

x，
令

1

2

x=1，则x=2，y=1，
∴P（2，1）到直线l的距离最小；
（Ⅱ）①由题意，直线AB的方程为y=-x+1，代入抛物线方程可得x²+4x-4=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-4，x₁x₂=-4
∴|AB|=

1+1

|x₁-x₂|=8；
②设A(x1，

x12

4

)，B(x2，

x22

4

)，∴kAO=

x1

4

，kBO=

x2

4

，
∴AO的方程是：y=

x1

4

x，
由

y= x1 4 x y=x-2

∴xM=

8

4-x1

，
同理由

y= x2 4 x y=x-2

∴xN=

8

4-x2

…（9分）
∴|MN|=

1+12

|xM-xN|=

2

|

8

4-x1

-

8

4-x2

|=8

2

|

x1-x2

16-4(x1+x2)+x1x2

|①…（10分）
设AB：y=kx+1，由

y=kx+1 x2=4y

∴x2-4kx-4=0，
∴

x1+x2=4k x1x2=-4

且|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=4

k2+1

，
代入①得到：|MN|=8

2

|

4 k2+1

16-16k-4

|=8

2

k2+1

|4k-3|

=8

2

k2+1 (4k-3)2

，…（12分）
设4k-3=t≠0∴k=

3+t

4

，|MN|=8

2

25+t2+6t 16t2

=2

2

1+ 25 t2 + 6 t

=2

2

( 5 t + 3 5 )2+ 16 25

≥2

2

×

4

5

=

8 2

5

，
∴此时|MN|的最小值是

8 2

5

，此时t=-

25

3

，k=-

4

3

；        …（13分）
综上：|MN|的最小值是

8 2

5

．                                  …（14分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，难度中等．