Question

已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，面积为S．
（1）求证：a²+b²+c²≥4

3

S；
（2）求证：tan

A

2

tan

B

2

，tan

B

2

tan

C

2

，tan

C

2

tan

A

2

中至少有一个不小于

1

3

．

Answer 1

考点：反证法与放缩法,两角和与差的正切函数

专题：证明题,反证法

分析：（1）利用分析法进行证明；
（2）用反证法证明数学命题时，应先假设要证的结论的反面成立，即命题的否定．

解答： 证明：（1）要证明a²+b²+c²≥4

3

S，
只需证明a²+b²+a²+b²-2abcosC≥2

3

absinC，
只需证明a²+b²≥2absin（C+

π

6

），
只需证明a²+b²≥2ab，
只需证明（a-b）²≥0，显然成立，
∴a²+b²+c²≥4

3

S；
（2）假设tan

A

2

tan

B

2

，tan

B

2

tan

C

2

，tan

C

2

tan

A

2

都不小于

1

3

，
则tan

A

2

tan

B

2

+tan

B

2

tan

C

2

+tan

C

2

tan

A

2

＜1①
∵tan

A

2

tan

B

2

+tan

B

2

tan

C

2

+tan

C

2

tan

A

2

=tan

B

2

（tan

A

2

+tan

C

2

）+tan

C

2

tan

A

2

=tan

B

2

tan（

A

2

+

C

2

）[1-tan

C

2

tan

A

2

]+tan

C

2

tan

A

2

=1
这与①矛盾，
∴tan

A

2

tan

B

2

，tan

B

2

tan

C

2

，tan

C

2

tan

A

2

中至少有一个不小于

1

3

．

点评：用反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于中档题．