Question

已知函数f（x）=2cos（ωx+

π

6

）（ω＞0，x∈R）的最小正周期为10π．
（1）求函数f（x）的对称轴方程；
（2）设α，β∈[0，

π

2

]，f（5α+

5π

3

）=-

6

5

，f（5β-

5π

6

）=

16

17

，求cos（α+β）的值．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,两角和与差的余弦函数

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由周期求得ω=

1

5

，由

1

5

x+

π

6

=kπ，k∈z，求得对称轴方程．
（2）由 α，β∈[0，

π

2

]，f（5α+

5π

3

）=-

6

5

，可得sinα 的值，可得cosα的值．由f（5β-

5π

6

）=

16

17

，求得cosβ的值，可得sinβ 的值，从而求得 cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ 的值．

解答： 解：（1）由条件可知，T=

2π

ω

=10π，∴ω=

1

5

，
则由

1

5

x+

π

6

=kπ⇒x=-

5

6

π+5kπ(k∈Z)，
故所求对称轴方程为 x=-

5π

6

+5kπ，k∈z．
（2）∵α，β∈[0，

π

2

]，f（5α+

5π

3

）=2cos（α+

π

3

+

π

6

）=-2sinα=-

6

5

，可得sinα=

3

5

，∴cosα=

4

5

．
∵f（5β-

5π

6

）=2cosβ=

16

17

，∴cosβ=

8

17

，∴sinβ=

15

17

，
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=

4

5

×

8

17

-

3

5

×

15

17

=-

13

85

．

点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象特征，余弦函数的对称性、周期性、两角和差的余弦公式、同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题．