Question

已知m，n是正整数，f（x）=（1+x）^m+（1+x）ⁿ的展开式中x的系数为7，
（1）试求f（x）中的x²的系数的最小值
（2）对于使f（x）的x²的系数为最小的m，n，求出此时x³的系数
（3）利用上述结果，求f（0.003）的近似值（精确到0.01）

Answer 1

考点：二项式系数的性质

专题：二项式定理

分析：（1）根据题意求得 m+n=7，再根据f（x）中的x²的系数为

C

2 m

+

C

2 n

=

m2+n2-m-n

2

=(m-

7

2

)2+

35

4

，利用二次函数的性质求得x²的系数的最小值，以及此时的m、n的值．
（2）分当 m=3、n=4时；和当 m=4、n=4=3时两种情况，求得x³的系数．
（3）根据f（0.003）=（1+0.003）⁴+（1+0.003）³≈

C

0 4

+

C

1 4

×0.003+

C

0 3

+

C

1 3

×0.003，计算求得结果．

解答： 解：（1）根据题意得：

C

1 m

+

C

1 n

=7，即 m+n=7①，
f（x）中的x²的系数为

C

2 m

+

C

2 n

=

m(m-1)

2

+

n(n-1)

2

=

m2+n2-m-n

2

．
将①变形为 n=7-m代入上式得：x²的系数为 m²-7m+21=(m-

7

2

)2+

35

4

，
故当m=3，或 m=4时，x²的系数的最小值为9．
（2）当 m=3、n=4时，x³的系数为

C

3 3

+

C

3 4

=5；
当 m=4、n=4=3时，x³的系数为

C

3 4

+

C

3 3

=5．
（3）f（0.003）=（1+0.003）⁴+（1+0.003）³≈

C

0 4

+

C

1 4

×0.003+

C

0 3

+

C

1 3

×0.003=2.02．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．