Question

已知函数f（x）的导数f′（x）=3x²-3ax，f（0）=b，a，b为实数，1＜a＜2，
（1）若f（x）在区间[-1，1]上的最小值、最大值分别为-2、1，求a、b的值；
（2）在（1）条件下，求经过点P（2，1）且与曲线f（x）相切的直线l的方程．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）由函数的导函数得到原函数为f(x)=x3-

3

2

ax2+b，根据f（x）在区间[-1，1]上的单调性求其最大值和最小值，由最小值、最大值分别为-2、1求a、b的值；
（2）把（1）中求得的a，b的值代入f（x）的解析式，然后分点P（2，1）是切点和不是切点求解经过点P（2，1）且与曲线f（x）相切的直线l的方程．

解答： 解：（1）由已知得，f(x)=x3-

3

2

ax2+b，
由f′（x）=0，得x₁=0，x₂=a．
∵x∈[-1，1]，1＜a＜2，
∴当x∈[-1，0）时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当x∈（0，1]时，f′（x）＜0，f（x）递减．
∴f（x）在区间[-1，1]上的最大值为f（0）=b，
∴b=1．
又f（1）=1-

3

2

a+1=2-

3

2

a，
f（-1）=-1-

3

2

a+1=-

3

2

a，
∴f（-1）＜f（1）．即-

3

2

a=-2，得a=

4

3

．
故a=

4

3

，b=1；
（2）由（1）得f（x）=x³-2x²+1，f′（x）=3x²-4x，点P（2，1）在曲线f（x）上．
①当切点为P（2，1）时，切线l的斜率k=f′（x）|_x=2=4，
∴l的方程为y-1=4（x-2），即4x-y-7=0．
②当点P不是切点时，设切点为Q（x₀，y₀）（x₀≠2），
切线l的斜率k=k=f′（x₀）=3x02-4x0，
∴l的方程为y-y₀=（3x₀²-4x₀）（x-x₀）．
又点P（2，1）在l上，
∴1-y₀=（3x₀²-4x₀）（2-x₀），
∴1-（x₀³-2x₀²+1）=（3x₀²-4x₀）（2-x₀），
∴x₀²（2-x₀）=（3x₀²-4x₀）（2-x₀），
∴x₀²=3x₀²-4x₀，
即2x₀（x₀-2）=0，
∴x₀=0．
∴切线l的方程为y=1．
故所求切线l的方程为4x-y-7=0或y=1．

点评：本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数在闭区间上的最值，训练了分类讨论的数学思想方法，是中档题．