Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知DA=DC=4，DD₁=3，E是DD₁的中点
（1）求证：D₁B∥面ACE
（2）求异面直线A₁B与B₁C所成角的余弦值．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,直线与平面平行的判定

专题：空间角

分析：（1）连结BD交AC于O点，连结EO，则EO为△DBD₁的中位线，由此能证明D₁B∥面ACE．
（2）连结A₁D，由B₁C∥A₁D，知∠DA₁B是异面直线A₁B与B₁C所成角，由此能求出异面直线A₁B与B₁C所成角的余弦值．

解答： （1）证明：连结BD交AC于O点，连结EO，
∵ABCD是矩形，∴O是AC中点，
∵E是DD₁中点，∴EO为△DBD₁的中位线，
∴EO∥D₁B，
∵EO?平面AEC，D₁B?平面AEC，
∴D₁B∥面ACE．
（2）解：解：连结A₁D，
∵B₁C∥A₁D，∴∠DA₁B是异面直线A₁B与B₁C所成角，
∵DA=DC=4，DD₁=3，
∴A₁B=A₁D=5，BD=4

2

，
∴cos∠DA1B=

25+25-16

2×5×5

=

9

25

．
∴异面直线A₁B与B₁C所成角的余弦值是

9

25

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查异面直线所成角的余弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．