Question

已知定点F（2，0）与分别在x轴、y轴上的动点M（m，0）、N（0，n）满足：

MN

•

NF

=0，动点P满足

MN

=

NP

．
（1）求动点P的轨迹的方程；
（2）设过点F任作一直线与点P的轨迹交于A、B两点，直线OA、OB与直线l：x=-2分别交于点S、T（O为坐标原点）；
（i）试判断直线l：x=-2与以AB为直径的圆的位置关系；
（ii）探究

FS

•

FT

是否为定值？并证明你的结论．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,轨迹方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设动点P的坐标为（x，y），由

MN

•

NF

=0，得n²+2m=0．由此利用（-m，n）=（x，y-n能求出动点P的轨迹方程．
（2）（i）设直线AB的方程为x=ty+2，点A，B的坐标分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．设A，B两点到准l：-2的距离分别为d_A=|AF|，d_B=|BF|，设AB的中点C到准线的距离为d_C，由dC=

1

2

(dA+dB)能求出直线l：x=-2与以AB为直线的圆相切．
（ii）由

x=ty+2 y2=8x

得y²-8ty-16=0，由已知条件分别求出S（-2，-

16

y1

），T（-2，-

16

y2

），由此能求出

FS

•

FT

为定值0．

解答： 解：（1）设动点P的坐标为（x，y），则

NP

=(x，y-n)，
又

NF

=(2，-n)，

MN

=(-m，n)，由

MN

•

NF

=0，得n²+2m=0．
∵

MN

=

NP

，∴（-m，n）=（x，y-n），∴

m=-x n= y 2

，
代入n²+2m=0，得动点P的轨迹方程为y²=8x．
（2）由（1）知动点P的轨迹是以F（2，0）为焦点，l：x=-2为准线的抛物线，
设直线AB的方程为x=ty+2；点A，B的坐标分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（i）设A，B两点到准l：-2的距离分别为d_A，d_B，则d_A=|AF|，d_B=|BF|，
设AB的中点C到准线的距离为d_C，
则dC=

1

2

(dA+dB)=

1

2

(|AF|+|BF|)=

1

2

|AB|，
∴直线l：x=-2与以AB为直线的圆相切．
（ii）由

x=ty+2 y2=8x

得y²-8ty-16=0，∴y₁y₂=-16，…（10分）
∵OA的方程为y=

y1

x1

x，即y=

8

y1

x，
由

x=-2 y= 8 y1 x

，得点S的坐标为S（-2，-

16

y1

），
同理可得点T的坐标为T（-2，-

16

y2

），…（11分）
∴

FS

=(-4，-

16

y1

)，

FT

=(-4，-

16

y2

)，
于是

FS

•

FT

=16+

16×16

y1y2

=16+

16×16

-16

=0，…（12分）
因此

FS

•

FT

为定值，且定值为0．…（13分）

点评：本题考查动点的轨迹方程的求法，考查直线与圆的位置关系的判断，考查向量的数量积是否为定值的探究与证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．