Question

已知t＞0，函数f（x）=|

x-t

x+3t

|．
（1）t=1时，写出f（x）的增区间；
（2）记f（x）在区间[0，6]上的最大值为g（t），求g（t）的表达式；
（3）是否存在t，使函数y=f（x）在区间（0，6）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求t的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）由函数图象的平移求出函数g（x）=1-

4

x+3

的增区间，取绝对值后得到f（x）的增区间；
（2）分0≤x≤t和x＞t把原函数去绝对值，求导后利用导函数的符号得到原函数的单调性，求得函数的极值，结合端点值可得f（x）在区间[0，6]上的最大值为g（t）；
（3）由（1）知，当t≥6时，f（x）在（0，6）上单调递减，不满足要求；当0＜t＜6时，f（x）在（0，t）上单调递减，在（t，6）上单调递增．设出区间（0，6）内的图象上的两点（x₁，f（x₁）），（x₂，f（x₂）），把在该两点处的切线互相垂直转化为集合T={x|3t＜x＜4t}与集合B={x|

4t

6+3t

＜x＜1}的交集非空，由此列不等式求得t的取值范围．

解答： 解：（1）当t=1时，f（x）=|

x-1

x+3

|=|1-

4

x+3

|，
函数g（x）=1-

4

x+3

的增区间为（-∞，-3），（-3，+∞），
且x∈（-3，1）时g（x）＜0，
∴f（x）的增区间为（-∞，-3），（1，+∞）；
（2）当0≤x≤t时，f（x）=

t-x

x+3t

；当x＞t时，f（x）=

x-t

x+3t

．
因此，当x∈（0，t）时，f′（x）=

-4t

(x+3t)2

＜0，f（x）在（0，t）上单调递减；
当x∈（t，+∞）时，f′（x）=

4t

(x+3t)2

＞0，f（x）在（t，+∞）上单调递增．
①若t≥6，则f（x）在（0，6）上单调递减，g（t）=f（0）=

1

3

．
②若0＜t＜6，则f（x）在（0，t）上单调递减，在（t，6）上单调递增．
∴g（t）=max{f（0），f（6）}．
而f（0）-f（6）=

1

3

-

6-t

6+3t

=

2t-4

6+3t

，
故当0＜t≤2时，g（t）=f（6）=

6-t

6+3t

；
当2＜t＜6时，g（t）=f（0）=

1

3

．
综上所述，g（t）=

6-t 6+3t ，0＜t≤2 1 3 ，t＞2

；
（3）由（1）知，当t≥6时，f（x）在（0，6）上单调递减，不满足要求；
当0＜t＜6时，f（x）在（0，t）上单调递减，在（t，6）上单调递增．
若存在x₁，x₂∈（0，6）（x₁＜x₂），使曲线y=f（x）在（x₁，f（x₁）），（x₂，f（x₂））两点处的切线互相垂直，
则x₁∈（0，t），x₂∈（t，6），且f（x₁）•f（x₂）=-1，
即

-4t

(x1+3t)2

•

4t

(x2+3t)2

=-1，亦即x1+3t=

4t

x2+3t

，
由x₁∈（0，t），x₂∈（t，6），得x1+3t∈(3t，4t)，

4t

x2+3t

∈(

4t

6+3t

，1)，
故x1+3t=

4t

x2+3t

等价于集合T={x|3t＜x＜4t}与集合B={x|

4t

6+3t

＜x＜1}的交集非空．
∵

4t

6+3t

＜4t，
∴当且仅当0＜3t＜1，即0＜t＜

1

3

时，T∩B≠∅．
综上所述，存在t使函数y=f（x）在区间（0，6）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直，
且t的取值范围是(0，

1

3

)．

点评：本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，体现了分类讨论的数学思想方法及数学转化思想方法，是高考试卷中的压轴题．