Question

已知函数f（x）=

2

2x+ 2

（Ⅰ）计算f（

1

2

+x）+f（

1

2

-x）的值
（Ⅱ）若关于x的不等式：f[2^3x-2^-x+m（2^x-2^-x）+

1

2

]＜

2

2

在区间[1，2]上有解，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：指、对数不等式的解法,函数解析式的求解及常用方法

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）根据函数的解析式直接计算f（

1

2

+x）+f（

1

2

-x）的值
（Ⅱ）判断函数f（x）的单调性，利用函数单调性姜不等式进行转化即可得到结论．

解答： 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=

2

2x+ 2

，
∴f（1-x）+f（x）=

2

21-x+ 2

+

2

2x+ 2

=

2•2x

2+ 2 •2x

+

2

2x+ 2

=

2•2x

2+ 2 •2x

+

2 2

2+ 2 •2x

=

2 (2+ 2 •2x)

2+ 2 •2x

=

2

∴f（

1

2

+x）+f（

1

2

-x）=

2

．
（Ⅱ）f（x）=

2

2x+ 2

=1-

2

2 +2x

，故f（x）在实数集上是单调递增函数，
由（Ⅰ），令x=0，得f（

1

2

）=

2

2

，
原不等式即为f[2^3x-2^-x+m（2^x-2^-x）+

1

2

]＜f（

1

2

），
即2^3x-2^-x+m（2^x-2^-x）+

1

2

＜

1

2

，
则2^3x-2^-x+m（2^x-2^-x）＜0，
即m＜-1-4^x，x∈[1，2]，
∵-1-4^x的最大值为-5，
∴m＜-5．

点评：本题主要考查函数值的计算，以及不等式恒成立问题，利用函数的单调性是解决本题的关键．