Question

已知函数f（x）的导函数f′（x）=a（x+1）（x-a），若f（x）在x=a处取到极小值，则实数a的取值范围是

 

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Answer 1

考点：函数在某点取得极值的条件

专题：导数的综合应用

分析：根据函数导数的定义和性质即可得到结论．

解答： 解：由f′（x）=a（x+1）（x-a）=0，
解得a=0或x=-1或x=a，
若a=0，则f′（x）=0，此时函数f（x）为常数，没有极值，故a≠0．
若a=-1，则f′（x）=-（x+1）²≤0，此时函数f（x）单调递减，没有极值，故a≠-1．
若a＜-1，由f′（x）=a（x+1）（x-a）＞0得a＜x＜-1此时函数单调递增，
由f′（x）=a（x+1）（x-a）＜0得x＜a或x＞-1此时函数单调递减，即函数在x=a处取到极小值，满足条件．
若-1＜a＜0，由f′（x）=a（x+1）（x-a）＞0得-1＜x＜a此时函数单调递增，
由f′（x）=a（x+1）（x-a）＜0得x＜-1或x＞a，此时函数单调递减，即函数在x=a处取到极大值，不满足条件．
若a＞0，由f′（x）=a（x+1）（x-a）＞0得x＜-1或x＞a此时函数单调递增，
由f′（x）=a（x+1）（x-a）＜0得-1＜x＜a，此时函数单调递减，即函数在x=a处取到极小值，满足条件．
综上：a＜-1或a＞0，
故答案为：a＜-1或a＞0

点评：本题主要考查导数和极值的关系，利用二次函数的图象和性质是解决本题的关键．