Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，线段B₁D₁上有两个动点E，F，且EF=

2

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，则下列结论中正确的序号是

 

．
（1）AC⊥BE；        
（2）EF∥平面ABCD；
（3）面AEF⊥面BEF； 
（4）三棱锥A-BEF的体积为定值．

Answer 1

考点：棱柱的结构特征

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：通过直线AC垂直平面平面BB₁D₁D，判断（1）是正确的；通过直线EF平行直线DB，判断EF∥平面ABCD，（2）是正确的；对角面与侧面所成角为45°，故面AEF与面BEF不可能垂直；计算三角形BEF的面积和A到平面BEF的距离是定值，说明（4）是正确的．

解答： 解：∵AC⊥平面BB₁D₁D，又BE?平面BB₁D₁D∴AC⊥BE．故（1）正确；
∵B₁D₁∥平面ABCD，又E、F在直线D₁B₁上运动，∴EF∥平面ABCD．故（2）正确；
∵对角面与侧面所成角为45°，∴面AEF与面BEF不可能垂直，故（3）不正确；
（4）中由于点B到直线B₁D₁的距离不变，故△BEF的面积为定值．
又点A到平面BEF的距离为

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，故V_A-BEF为定值．故正确．
故答案为：（1）（2）（4）．

点评：本题考查直线与平面平行的判定，棱柱、棱锥、棱台的体积，异面直线及其所成的角，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．