Question

三条直线两两垂直，现有一条直线与其中两条都成60°，则此直线与另外一条直线所成角为

 

．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角

专题：空间角

分析：如图所示，OA，OB，OC三条直线两两垂直，OP与两条直线OB，OC都成60°．过点P作PD⊥平面OBC，垂足为点D．可得点D在∠BOC的平分线OM上，连接BD，CD．不妨取OA=OB=OC=2，分别在Rt△OPD中，在△OBD与△OBP中，利用勾股定理和余弦定理，可得

OD

OP

=

2

2

．于是∠POD=45°．即可得出∠AOP．

解答： 解：如图所示，
OA，OB，OC三条直线两两垂直，OP与两条直线OB，OC都成60°．
过点P作PD⊥平面OBC，垂足为点D．则点D在∠BOC的平分线OM上，
连接BD，CD．
不妨取OA=OB=OC=2，
在Rt△OPD中，由勾股定理可得PD²=OP²-OD²．
在△OBD与△OBP中，由余弦定理可得：
BD²=OB²+OD²-2OB•OD•cos45°=22+OD2-4OD×

2

2

=4+OD2-2

2

OD，
PB²=OB²+OP²-2OB•OP•cos60°=4+OP²-2OP．
在Rt△BDP中，由勾股定理可得：PB²=BD²+PD²．
∴4+OP²-2OP=4+OD2-2

2

OD+OP²-OD²，
化为

OD

OP

=

2

2

．
∴∠POD=45°．
∴∠AOP=45°．
即直线OP与另外一条直线OA所成角为45°．

点评：本题考查了异面直线所成的角、线面垂直的性质、余弦定理和勾股定理，考查了辅助线的作法，考查了推理能力和计算能力，考查了空间想象能力，属于难题．