Question

已知椭圆和双曲线有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，若椭圆方程是

x2

16

+

y2

8

=1，则双曲线方程为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据椭圆方程求得其焦点坐标和离心率，进而可得双曲线的焦点坐标和离心率，进而可得双曲线的方程．

解答： 解：在椭圆中，a²=16，b²=8，则c²=16-8=8，
即a=4，c=

8

=2

2

，
则椭圆的离心率e=

c

a

=

2 2

4

=

2

2

，
∵椭圆和双曲线的离心率互为倒数，
∴双曲线的离心率e=

2

2

=

2

，
∵双曲线的c=2

2

，
∴双曲线中e=

c

a

=

2 2

a

=

2

，解得双曲线中a=2，
则双曲线中b²=c²-a²=8-4=4，
即双曲线方程为

x2

4

-

y2

4

=1，
故答案为：

x2

4

-

y2

4

=1

点评：本题主要考查了双曲线的性质和椭圆的标准方程．要记住双曲线和椭圆的定义和性质．