Question

把数列{

1

n2+n

}依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，…按此规律下去，即（

1

2

），（

1

6

，

1

12

），（

1

20

，

1

30

，

1

42

），（

1

56

，

1

72

，

1

90

，

1

110

），则第6个括号内各数字之和为

 

．

Answer 1

考点：归纳推理

专题：规律型,等差数列与等比数列

分析：利用裂项相消法，求出前面6个括号的数的总和，及前5个括号数的总和，相减可得答案．

解答： 解：∵

1

n2+n

=

1

n

-

1

n+1

，
故数列{

1

n2+n

}的前n项和S_n=

1

2

+

1

6

+

1

12

+…+

1

n2+n

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

，
由于第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，…
故前6个括号的数共有1+2+3+4+5+6=21个，
前面6个括号的数的总和为：S₂₁=

21

22

，
故前5个括号的数共有1+2+3+4+5=15个，
前面5个括号的数的总和为：S₁₅=

15

16

，
故第6个括号内各数字之和为

21

22

-

15

16

=

3

176

，
故答案为：

3

176

点评：本题考查的知识点是归纳推理，数列求和，其中分析出数列{

1

n2+n

}的前n项和S_n=

n

n+1

是解答的关键．