Question

已知递增数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₁=1，4S_n-4n+1=a_n²．设b_n=

1

anan+1

，n∈N^*，且数列{b_n}的前n项和为T_n．
（1）求证：数列{a_n}为等差数列；
（2）试求所有的正整数m，使得

am2+am+12-am+22

amam+1

为整数；
（3）若对任意的n∈N^*，不等式λT_n＜n+18（-1）ⁿ⁺¹恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导出a_n-2=a_n-1（n≥2）或a_n-2=-a_n-1（n≥2），由此能证明数列{a_n}为等差数列．
（2）由a_n=2n-1，知

am2+am+12-am+22

amam+1

=1-

6

2m-1

，由此能求出所有的正整数m，使得

am2+am+12-am+22

amam+1

为整数．
（3）由a_n=2n-1，知bn=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，由此利用裂项求和法结合已知条件能求出实数λ的取值范围．

解答： （1）证明：由4Sn-4n+1=an2，
得4Sn-1-4(n-1)+1=an-12(n≥2)，…（2分）
所以4an-4=an2-an-12(n≥2)，
即an2-4an+4=an-12，即(an-2)2=an-12（n≥2），
所以a_n-2=a_n-1（n≥2）或a_n-2=-a_n-1（n≥2），
即a_n-a_n-1=2（n≥2）或a_n+a_n-1=2（n≥2），…（4分）
若a_n+a_n-1=2（n≥2），则有a₂+a₁=2，又a₁=1，
所以a₂=1，则a₁=a₂，这与数列{a_n}递增矛盾，
所以a_n-a_n-1=2（n≥2），故数列{a_n}为等差数列．…（6分）
（2）解：由（1）知a_n=2n-1，
所以

am2+am+12-am+22

amam+1

=

(2m-1)2+(2m+1)2-(2m+3)2

(2m-1)(2m+1)

=

4m2-12m-7

4m2-1

=

4m2-1-12m-6

4m2-1

=1-

6

2m-1

，…（8分）
因为1-

6

2m-1

∈Z，所以

6

2m-1

∈Z，
又2m-1≥1且2m-1为奇数，所以2m-1=1或2m-1=3，故m的值为1或2．…（10分）
（3）解：由（1）知a_n=2n-1，则bn=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
所以T_n=b₁+b₂+…+b_n
=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

，…（12分）
从而λ•

n

2n+1

＜n+18(-1)n+1对任意n∈N^*恒成立等价于：
当n为奇数时，λ＜

(2n+1)(n+18)

n

恒成立，
记f(n)=

(2n+1)(n+18)

n

，则f(n)=2(n+

9

n

)+37≥49，当n=3时取等号，所以λ＜49，
当n为偶数时，λ＜

(2n+1)(n-18)

n

恒成立．
记g(n)=

(2n+1)(n-18)

n

，因为g(n)=2(n-

9

n

)-35递增，所以g（n）_min=g（2）=-40，
所以λ＜-40．综上，实数λ的取值范围为λ＜-40．…（16分）

点评：本题考查等差数列的证明，考查满足条件的所有的正整数的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要注意裂项求和法的合理运用．