Question

已知开口向右的抛物线经过点（1，-2）
（1）求抛物线的标准方程．
（2）过抛物线的焦点F，作倾角为

π

3

的弦AB，求AB的长度．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意可设抛物线的方程为：y²=2px（p＞0）．把点（1，-2）代入可得：（-2）²=2p×1，解得p即可．
（2）抛物线的焦点F（1，0），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．直线AB的方程为：y=

3

(x-1)．与抛物线的方程联立可得根与系数的关系，再利用弦长公式|AB|=x₁+x₂+p即可得出．

解答： 解：（1）由题意可设抛物线的方程为：y²=2px（p＞0）．
把点（1，-2）代入可得：（-2）²=2p×1，解得p=2．
∴抛物线的标准方程为y²=4x．
（2）抛物线的焦点F（1，0），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
直线AB的方程为：y=

3

(x-1)．
联立

y= 3 (x-1) y2=4x

，化为3x²-10x+3=0．
∴x1+x2=

10

3

．
∴|AB|=x₁+x₂+p=

10

3

+2=

16

3

．

点评：本题考查了抛物线的标准方程及其性质、焦点弦长公式，属于中档题．