Question

已知直线y=ax+1与双曲线3x²-y²=1交于A、B两点．
（1）求a的取值范围；
（2）若以AB为直径的圆过坐标原点，求实数a的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据直线和双曲线的位置关系，即可求a的取值范围；
（2）根据条件以AB为直径的圆过坐标原点，消去y，利用根与系数之间的关系即可求实数a的值．

解答： 解　（1）由

y=ax+1 3x2-y2=1

消去y，
得（3-a²）x²-2ax-2=0，
依题意得

3-a2≠0 △＞0

，
即-

6

＜a＜

6

且a≠±

3

．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵（3-a²）x²-2ax-2=0，
∴

x1+x2= 2a 3-a2 x1x2= -2 3-a2

，
∵以AB为直径的圆过坐标原点，
∴OA⊥OB，
即x₁x₂+y₁y₂=0，
则x₁x₂+（ax₁+1）（ax₂+1）=0，
则（a²+1）x₁x₂+a（x₁+x₂）+1=0，
∴（a²+1）•

-2

3-a2

+a•

2a

3-a2

+1=0，
解得a=±1，满足条件．

点评：本题主要考查直线和圆锥曲线的位置关系的判断和应用，联立方程利用根与系数之间的关系是解决本题的关键．