Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁C₁C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA₁C₁C，AB=3，BC=5．
（1）求证：AA₁⊥平面ABC；
（2）求点A₁到平面B₁BCC₁的距离；
（3）求二面角A₁-BC₁-B₁的正弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面垂直的判定,点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（ I）由已知条件推导出AA₁⊥AC，AA₁垂直于交线AC，由此能证明AA₁⊥平面ABC．
（2）以A为原点，AC为x轴，A耿y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点A₁到平面B₁BCC₁的距离．
（3）求出平面A₁BC₁的法向量，利用向量法能求出二面角A₁-BC₁-B₁的正弦值．

解答： （ I）证明：因为AA₁C₁C为正方形，所以AA₁⊥AC．
因为平面ABC⊥平面AA₁C₁C，
且AA₁垂直于这两个平面的交线AC，
所以AA₁⊥平面ABC．
（2）解：在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵AA₁C₁C是边长为4的正方形，
平面ABC⊥平面AA₁C₁C，AB=3，BC=5，
∴AC⊥AB，
以A为原点，AC为x轴，A耿y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，
则A₁（0，0，4），C（4，0，0），B（0，3，0），C₁（4，0，4），A₁（0，0，4），

CA1

=（4，0，-4），

CC1

=（0，0，4），

CB

=（-4，3，0），
设平面B₁BCC₁的法向量

n

=(x，y，z)，
则

n • CC1 =4z=0 n • CB =-4x+3y=0

，取x=3，得

n

=（3，4，0），
∴点A₁到平面B₁BCC₁的距离d=

| CA1 • n |

| n |

=

|12|

5

=

12

5

．
（3）解：

A1C1

=（4，0，0），

A1B

=（0，3，-4），
设平面A₁BC₁的法向量

m

=(a，b，c)，
则

m • A1C1 =4a=0 m • A1B =3b-4c=0

，取b=4，得

m

=(0，4，3)，
设二面角A₁-BC₁-B₁的平面角为θ，
cosθ=|cos＜

n

，

m

＞|=|

16

5×5

|=

16

25

，
∴sinθ=

1-( 16 25 )2

=

3 41

25

．
∴二面角A₁-BC₁-B₁的正弦值为

3 41

25

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查二面角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．