称满足以下两个条件的有穷数列
为
阶“期待数列”：
①
；②
.
（1）若数列
的通项公式是
，
试判断数列是否为2014阶“期待数列”，并说明理由；
（2）若等比数列
为
阶“期待数列”，求公比q及的通项公式；
（3）若一个等差数列既是阶“期待数列”又是递增数列，求该数列的通项公式；
（1）是；
（2）
．
或
；
（3）
；
解析试题分析：（1）判断数列是不是为2014阶“期待数列”，就是根据定义计算
，
，是不是一个为0，一个为1，如是则是“期待数列”，否则就不是；（2）数列中等比数列，因此
是其前
和，故利用前前项和公式，分
和
进行讨论，可很快求出
，
或
；（3）
阶等差数列是递增数列，即公差
，其和为0，故易知数列前面的项为负，后面的项为正，即前
项为正，后项为正，因此有
，
，这两式用基本量或直接相减可求得
，
，因此通项公式可得．
试题解析：（1）因为
， 2分
所以
，
所以数列
为2014阶“期待数列” 4分
（2）①若
，由①得，
，得
，矛盾． 5分
若
，则由①
=0，得， 7分
由②得
或
．
所以，．数列
的通项公式是
或 9分
（3）设等差数列
的公差为
，>0．
∵
，∴
，∴
，
∵>0，由
得
，
， 11分
由①、②得，， 13分
两式相减得，
， ∴
，
又
，得，
∴数列的通项公式是． 16分
考点：（1）三角函数的诱导公式与新定义的理解；（2）等比数列的前和公式与通项公式；（3）等差数列的前和公式与通项公式．
科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知等比数列{an}中，a2＝32，a8＝
，an＋1<an.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Tn＝log2a1＋log2a2＋…＋log2an，求Tn的最大值及相应的n值．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知向量p＝(an，2n)，q＝(2n＋1，－an＋1)，n∈N*，p与q垂直，且a1＝1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足bn＝log2an＋1，求数列{an·bn}的前n项和Sn.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足8Sn＝a＋4an＋3(n∈N*)，且a1，a2，a7依次是等比数列{bn}的前三项．
(1)求数列{an}及{bn}的通项公式；
(2)是否存在常数a＞0且a≠1，使得数列{an－logabn}(n∈N*)是常数列？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
设无穷等比数列
的公比为q，且
，
表示不超过实数
的最大整数（如
）,记
，数列的前
项和为
，数列
的前项和为
.
（Ⅰ）若
，求；
（Ⅱ）若对于任意不超过
的正整数n，都有
，证明：
.
（Ⅲ）证明：
（
）的充分必要条件为
.
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的前
项和
满足
，又
，
.
中，
，若函数
，在点
处切线过点
为等比数列；
.
为等差数列，
为其前
项和，且
是等比数列；
}的前
项和为
，已知对任意的
，点
，均在函数
的图像上.
的值；
求数列
的前
项和
.