Question

16．$\frac{cosB}{cosA}=\frac{-b}{2a+c}$．
（1）求B的大小；
（2）若b=$\sqrt{13}$，a+c=4，求三角形面积．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理化简已知的等式，整理后利用两角和与差的正弦函数公式变形，根据sinA不为0，求出cosB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（2）利用余弦定理的得到b²=a²+c²-2accosB，根据完全平方公式化简后，将b，a+c及cosB的值代入，求出ac的值，再由sinB的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．

解答 解：（1）∵$\frac{cosB}{cosA}=\frac{-b}{2a+c}$，
∴由正弦定理可得：$\frac{cosB}{cosA}=\frac{-sinB}{2sinA+sinC}$，
整理得：2sinAcosB+sinCcosB=-sinBcosA，即2sinAcosB=-sin（B+C），
∴2sinAcosB=-sinA，
∴由sinA≠0，可解得：cosB=-$\frac{1}{2}$，
又B为三角形的内角，则B=$\frac{2π}{3}$；
（2）∵b=$\sqrt{13}$，a+c=4，B=$\frac{2π}{3}$，
∴由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB=（a+c）²-2ac-2accosB，
∴13=16-2ac（1-$\frac{1}{2}$），
∴ac=3，
则S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式的应用，考查了两角和与差的正弦函数公式以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键，属于中档题．