Question

8．已知向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$，1），$\overrightarrow{b}$=（0，-2），$\overrightarrow{c}$=（k，$\sqrt{3}$）．
（Ⅰ）若$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{c}$共线，求实数k的值；
（Ⅱ）若$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{a}$+m$\overrightarrow{c}$，求实数m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知先求出$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$，再由$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{c}$共线，能求出实数k的值．
（Ⅱ）由已知得（0，-2）=（$\sqrt{3}+mk$，1+$\sqrt{3}m$），由向量相等能求出实数m的值．

解答 解：（Ⅰ）∵向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$，1），$\overrightarrow{b}$=（0，-2），$\overrightarrow{c}$=（k，$\sqrt{3}$）．
∴$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$=（$\sqrt{3}$，-3），
∵$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{c}$共线，
∴$\frac{k}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{-3}$，解得k=-1，
∴实数k的值为-1．
（Ⅱ）若$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{a}$+m$\overrightarrow{c}$，则（0，-2）=（$\sqrt{3}+mk$，1+$\sqrt{3}m$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}+mk=0}\\{1+\sqrt{3}m=-2}\end{array}\right.$，解得m=-$\sqrt{3}$．
∴实数m的值为-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量共线和向量相等的性质的合理运用．