Question

3．x满足不等式x+1＜$\frac{2x}{x+1}$，则x+$\frac{4}{x}$的取值范围是（-∞，-4]．

Answer 1

分析 解不等式可得x＜-1，可得x+$\frac{4}{x}$=-（-x+$\frac{4}{-x}$）≤-2$\sqrt{-x•\frac{4}{-x}}$=-4，找出等号成立的条件即可．

解答 解：不等式x+1＜$\frac{2x}{x+1}$可化为x+1-$\frac{2x}{x+1}$＜0，
即$\frac{{x}^{2}+1}{x+1}$＜0，解得x＜-1，
∴x+$\frac{4}{x}$=-（-x+$\frac{4}{-x}$）≤-2$\sqrt{-x•\frac{4}{-x}}$=-4
当且仅当-x=$\frac{4}{-x}$即x=-2时取等号，
故答案为：（-∞，-4]

点评 本题考查基本不等式求最值，涉及不等式的解集，属基础题．