Question

（2012•广东模拟）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，正数数列{b_n}中b₂=e，（e为自然对数的底≈2.718）且?n∈N^*总有2^n-1是S_n与a_n的等差中项，

bn+1

是bn与bn+1的等比中项．
（1）求证：?n∈N^*有an＜an+1＜2n；
（2）求证：?n∈N^*有

3

2

(an-1)＜lnb1+lnb2+…+lnbn＜3an-1．

Answer 1

分析：（1）先由条件求出a₁=1，进而求出 a_n+1=

1

3

•2n+1+

1

3

•

1

2n

，可得a_n=

1

3

•2n+

1

3

•

1

2n-1

，根据a_n+1-2ⁿ ＜0，以及a_n+1-a_n ＞0，可得结论an＜an+1＜2n成立．
（2）先由（1）求出b₁=

-1+ 1+4e

2

，再证明a_n ≤2^n-1-1，3a_n -1＞2ⁿ-1．要证不等式成立，只要证 2^n-1-1＜lnb₁+lnb₂+…+lnb_n＜2ⁿ-1 即可．先证当n=1时，
不等式成立，当n≥2时，用放缩法证明 lnb₁+lnb₂+…+lnb_n＞0+1+2+…+2^n-2=2^n-1-1≥

3

2

(an-1)．再用放缩法证明∴lnb₁+lnb₂+…+lnb_n＜2ⁿ-1＜3a_n -1，
从而证得要证的不等式成立．

解答：解：（1）证明：∵2^n-1是S_n与a_n的等差中项，∴2ⁿ=S_n +a_n，∴S_n=2ⁿ-a_n，∴a₁=s₁=2-a₁，∴a₁=1．
由S_n=2ⁿ-a_n，可得 s_n+1=2ⁿ⁺¹-a_n+1，想减可得 a_n+1=s_n+1-S_n=2ⁿ⁺¹-2ⁿ-a_n+1+a_n．
化简可得 2a_n+1=2ⁿ+a_n．
变形可得 2ⁿ⁺¹ a_n+1-2ⁿ a_n =4ⁿ，故数列{ 2ⁿ⁺¹ a_n+1-2ⁿ a_n }构成等比数列，
故它的前n项和为 （ 2ⁿ⁺¹ a_n+1-2ⁿ a_n ）+（2ⁿa_n-2^n-1a_n-1）+…+（2²a₂-2a₁）=4ⁿ+4^n-1+…+4=

4

3

(4n-1)，
即 a_n+1=

1

3

•2n+1+

1

3

•

1

2n

，故 a_n=

1

3

•2n+

1

3

•

1

2n-1

．
∴a_n+1-2ⁿ=

1

3

（

1

2n

-2n）＜0，a_n+1-a_n=（

1

3

•2n+1-

1

3

•

1

2n+1

）-（

1

3

•2n-

1

3

•

1

2n

）=

1

6

（2ⁿ⁺¹-

1

2n-1

）＞0，
∴an＜an+1＜2n成立．
（2）证明：由（1）得

bn+1

是bn与bn+1的等比中项，∴b_n+1=b_n （b_n+1）．再由b₂=e，b_n＞0，∴b₁=

-1+ 1+4e

2

．
∵a_n=

1

3

•2n+

1

3

•

1

2n-1

，

3

2

(an-1)=2^n-1-

1

2n

-

3

2

≤2^n-1-1，
3a_n -1=3（

1

3

•2n+

1

3

•

1

2n-1

）-1=2n+

1

2n-1

-1＞2ⁿ-1．
要证

3

2

(an-1)＜lnb1+lnb2+…+lnbn＜3an-1，只要证 2^n-1-1＜lnb₁+lnb₂+…+lnb_n＜2ⁿ-1即可．
∵

bn+1

是bn与bn+1的等比中项，等价于 bn+1=

b

2 n

+bn．
∵4e＞8，∴b₁＞

-1+ 9

2

=1，b₁+1=

e

b1

＜e．
∴lnb₁＞ln1=0=2^1-1-1，lnb₁＜ln（b₁+1）＜1=2¹-1，故当n=1时，所证的不等式成立．
当n≥2时，bn+1=

b

2 n

+bn＞

b

2 n

，∴lnb_n+1＞2lnb_n．
∴lnb_n＞2lnb_n-1＞…＞2^n-2lnb₂=2^n-2．
∴lnb₁+lnb₂+…+lnb_n＞0+1+2+…+2^n-2=2^n-1-1≥

3

2

(an-1)．
再由 ln（b_n+1+1）=ln（

b

2 n

+bn+1）＜ln（

b

2 n

+bn+1+b_n）=ln(bn+1)2=2ln(bn+1)  可得
 ln（b_n+1）＜2ln（b_n-1+1）＜2²ln（b_n-2+1）＜…＜2^n-1 ln（b₁+1）＜2^n-1．
∴lnb₁+lnb₂+…+lnb_n＜ln（b₁+1）+ln（b₂+1）+…+ln（b_n+1）＜1+2+2²+…+2^n-1=2ⁿ-1＜3a_n -1．
综上所述，总有

3

2

(an-1)＜lnb1+lnb2+…+lnbn＜3an-1成立．

点评：本题主要考查等比数列的定义和性质、等差数列的定义和性质的应用，用放缩法证明不等式，数列与不等式的综合应用，属于难题．