Question

11．过抛物线x²=2py（p＞0）上一点P与圆C：x²+（y-2）²=4相切的两条切线方程分别为y=m与4x-3y+n=0．
（I）求抛物线的方程；
（Ⅱ）当p＞1时，设Q（s，t）（t＞4）是抛物线上不同于P点的一点，求过Q点与圆相切的两条直线与x轴围成的三角形面积S的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出圆心和半径，由圆的对称性可得m=4，利用圆心到切线的距离等于半径，求出n，求得P（4，4），代入抛物线的方程，求得p，进而得到抛物线的方程；
（Ⅱ）设切线y-t=k（x-s），利用切线与x轴交点为（s-$\frac{t}{k}$，0），圆心到切线的距离列出关系式，推出k的二次方程，设两切线斜率分别为k₁，k₂，通过韦达定理，表示出三角形的面积，利用基本不等式求出最小值．

解答 解：（Ⅰ）圆C：x²+（y-2）²=4的圆心为（0，2），半径为2，
由圆的对称性，可得切线为y=4，即m=4，
可设P（m，4），
代入切线方程4x-3y+n=0，
可得4m-3×4+n=0，
圆心到切线的距离为d=$\frac{|n-6|}{\sqrt{16+9}}$=2，即|n-6|=10，
所以n=-4或16，
由圆心在切线4x-3y+n=0上方，可得n=-4，m=4，
可得P（4，4），即有4²=8p，解得p=2，
即有抛物线的方程为x²=4y；
（Ⅱ）设切线y-t=k（x-s），即kx-y+t-ks=0，
切线与x轴交点为（s-$\frac{t}{k}$，0），
圆心到切线的距离为d=$\frac{|-2+t-ks|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=2．
即4+t²+k²s²-4t+4ks-2stk=0，
化简得（s²-4）k²+2s（2-t）k+t²-4t=0，
设两切线斜率分别为k₁，k₂，则$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}+{k}_{2}=-\frac{2s（2-t）}{{s}^{2}-4}}\\{{k}_{1}{k}_{2}=\frac{{t}^{2}-4t}{{s}^{2}-4}}\end{array}\right.$，
S=$\frac{1}{2}$|（s-$\frac{t}{{k}_{1}}$）-（s-$\frac{t}{{k}_{2}}$）|•t=$\frac{1}{2}$$\frac{|{k}_{1}-{k}_{2}|}{|{k}_{1}{k}_{2}|}$•t²
=$\frac{2t\sqrt{{s}^{2}+{t}^{2}-4t}}{t-4}$=$\frac{2{t}^{2}}{t-4}$=2[$\frac{16}{t-4}$+（t-4）+8]≥32，当且仅当t=8时取等号．
所以两切线与x轴围成的三角形面积S的最小值为32．

点评 本题考查抛物线的方程的求法，直线与圆的位置关系，以及直线与圆锥曲线的位置关系的应用，考查计算能力，属于中档题．