Question

6．已知方程x²+（b-1）x+a²=0（b≥0）有解，求$\frac{1}{2}$a-b的取值范围．

Answer 1

分析 根据方程有解列出不等式，分情况讨论列出约束条件，根据可行域得出最优解．

解答 解：∵方程x²+（b-1）x+a²=0（b≥0）有解，
∴（b-1）²-4a²≥0．即（b-1）²≥4a²．
∴$\left\{\begin{array}{l}{b-1≥2a}\\{2a≥0}\\{b-1≥0}\\{b≥0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{b-1≤2a}\\{2a≤0}\\{b-1≤0}\\{b≥0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{b-1≥-2a}\\{2a≤0}\\{b-1≥0}\\{b≥0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{b-1≤-2a}\\{b-1≤0}\\{2a≥0}\\{b≥0}\end{array}\right.$．
令z=$\frac{1}{2}a-b$，则b=$\frac{1}{2}a-z$．
（1）若$\left\{\begin{array}{l}{b-1≥2a}\\{2a≥0}\\{b-1≥0}\\{b≥0}\end{array}\right.$，作出可行域如图：

由可行域可知当直线b=$\frac{1}{2}a-z$经过点（0，1）时截距-z最小，即z最大．
∴z的最大值为$\frac{1}{2}×0$-1=-1．∴z≤-1．
（2）若$\left\{\begin{array}{l}{b-1≤2a}\\{2a≤0}\\{b-1≤0}\\{b≥0}\end{array}\right.$，作出可行域如图：

由可行域可知当直线b=$\frac{1}{2}a-z$经过点（0，1）时截距-z最大，即z最小，
当直线b=$\frac{1}{2}a-z$经过点（0，0）时截距-z最小，即z最大．
∴z的最小值为$\frac{1}{2}×0$-1=-1．z的最大值为$\frac{1}{2}×0-0$=0．
∴-1≤z≤0．
（3）若$\left\{\begin{array}{l}{b-1≥-2a}\\{2a≤0}\\{b-1≥0}\\{b≥0}\end{array}\right.$，作出可行域如图：

由（1）可知z≤-1．
（4）若$\left\{\begin{array}{l}{b-1≤-2a}\\{b-1≤0}\\{2a≥0}\\{b≥0}\end{array}\right.$，作出可行域如图：

由可行域可知当直线b=$\frac{1}{2}a-z$经过点（0，1）时截距-z最大，即z最小，
当直线b=$\frac{1}{2}a-z$经过点（$\frac{1}{2}$，0）时截距-z最小，即z最大．
∴z的最大值为$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}-0$=$\frac{1}{4}$，z的最小值为$\frac{1}{2}×0-1$=-1．
∴-1≤z≤$\frac{1}{4}$．
综上，$\frac{1}{2}a-b$的取值范围是（-∞，$\frac{1}{4}$]．

点评 本题考查了线性规划，分类讨论思想，属于中档题．