Question

17．已知在$f（x）={（\frac{1}{x}+{x^2}）^n}$的展开式中，第4项为常数项
（1）求f（x）的展开式中含x^-3的项的系数；
（2）求f（x）的展开式中系数最大的项．

Answer 1

分析 （1）利用通项公式根据第4项为常数项，求得n的值，可得f（x）的展开式中含x^-3的项的系数．
（2）根据通项公式可得f（x）的展开式中系数最大的项，即r=4，或r=5，从而得出结论．

解答 解：（1）在$f（x）={（\frac{1}{x}+{x^2}）^n}$的展开式中，第4项为T₄=${C}_{n}^{3}$•x^9-n，为常数项，
∴n=9，故$f（x）={（\frac{1}{x}+{x^2}）^n}$=${（\frac{1}{x}{+x}^{2}）}^{9}$，它的通项公式为T_r+1=${C}_{9}^{r}$•x^3r-9，
令3r-9=-3，求得r=2，可得f（x）的展开式中含x^-3的项的系数为${C}_{9}^{2}$=36．
（2）f（x）的展开式中系数最大的项，即r=4，或r=5，
故系数最大的项为第五项或第六项，即T₅=${C}_{9}^{4}$•x³，T₆=${C}_{9}^{5}$•x⁹．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．