Question

9．如图所示，在四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，cosB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（I）求△ACD的面积；
（Ⅱ）若BC=2$\sqrt{3}$，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件求出D角的正弦函数值，然后求△ACD的面积；
（2）利用余弦定理求出AC，通过BC=2$\sqrt{3}$，利用正弦定理求解AB的长．

解答 解：（Ⅰ）cosD=cos2B=2cos²B-1=-$\frac{1}{3}$，…（2分）
因为∠D∈（0，π），所以sinD=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，…（4分）
所以△ACD的面积S=$\frac{1}{2}AD•CD•sinD$=$\frac{1}{2}×1×3×\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\sqrt{2}$．…（7分）
（Ⅱ）在△ACD中，AC²=AD²+DC²-2AD•DC•cosD=12，
所以AC=2$\sqrt{3}$．…（9分）
在△ABC中，BC=2$\sqrt{3}$，$\frac{AC}{sinB}=\frac{AB}{sin∠ACB}$，…（12分）
把已知条件代入并化简得：$\frac{2\sqrt{3}}{sinB}=\frac{AB}{sin（π-2B）}=\frac{AB}{\frac{2\sqrt{3}}{3}sinB}$，
所以AB=4．…（15分）

点评 本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，基本知识的考查，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．