Question

1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，c=5且b（2sinB+sinA）+（2a+b）sinA=2csinC．
（1）求C的值；
（2）若cosA=$\frac{4}{5}$，求b的值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理化简已知等式可得（2b+a）b+（2a+b）a=2c²，化简可得：a²+b²-c²=-ab，利用余弦定理可求cosC=-$\frac{1}{2}$，结合范围C∈（0，π），即可求得C的值．
（2）由已知，利用同角三角函数基本关系式可求sinA，利用两角和的正弦函数公式即可求得sinB=sin（A+C）的值，由正弦定理即可计算求得b=$\frac{csinB}{sinC}$的值．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵b（2sinB+sinA）+（2a+b）sinA=2csinC．
∴（2b+a）b+（2a+b）a=2c²，…2分
化简可得：a²+b²-c²=-ab，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=-$\frac{1}{2}$，…4分
∵C∈（0，π），
∴C=$\frac{2π}{3}$…6分
（2）∵cosA=$\frac{4}{5}$，A∈（0，π），
∴sinA=$\frac{3}{5}$，
∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=$\frac{3}{5}×（-\frac{1}{2}）+\frac{4}{5}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{4\sqrt{3}-3}{10}$，…10分
∴由正弦定理可得：b=$\frac{csinB}{sinC}$=$\frac{5×\frac{4\sqrt{3}-3}{10}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=4$-\sqrt{3}$．…12分

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角和与差的三角函数公式等基础知识，考查了运算求解能力，考查了化归与转化思想的应用，属于中档题．