Question

19．设数列{a_n}满足：a_n+1=$\frac{1+{a}_{n}}{1-{a}_{n}}$，a₂₀₁₅=3，那么a₁等于（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． 2
• C． -$\frac{1}{3}$
• D． 3

Answer 1

分析 由已知数列递推式求得${a}_{n}=\frac{{a}_{n+1}-1}{{a}_{n+1}+1}$，结合a₂₀₁₅=3求得数列的部分项，得到数列周期，则答案可求．

解答 解：由a_n+1=$\frac{1+{a}_{n}}{1-{a}_{n}}$，得${a}_{n}=\frac{{a}_{n+1}-1}{{a}_{n+1}+1}$，
又a₂₀₁₅=3，
∴${a}_{2014}=\frac{3-1}{3+1}=\frac{1}{2}$，${a}_{2013}=\frac{\frac{1}{2}-1}{\frac{1}{2}+1}=-\frac{1}{3}$，${a}_{2012}=\frac{-\frac{1}{3}-1}{-\frac{1}{3}+1}=-2$，${a}_{2011}=\frac{-2-1}{-2+1}=3$，
由上可知，数列{a_n}中的项以3为周期周期出现，
∴${a}_{1}={a}_{2014}=\frac{1}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查数列递推式，考查了数列的函数特性，关键是求出数列的周期，是中档题．