Question

15．已知圆C：（x-1）²+（y-2）²=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）
（1）证明：直线l恒过定点，并判断直线l与圆的位置关系；
（2）当直线l被圆C截得的弦长最短时，求直线l的方程及最短弦的长度．

Answer 1

分析 （1）先化简直线方程：将m分离出来，列出方程组求出定点的坐标，判断出定点与圆的位置关系，可得到直线l与圆的位置关系；
（2）当直线l垂直于CD时被截得的弦长最短，求出CD的斜率，由直线垂直的条件求出直线l的斜率，结合定点的坐标求出直线l的方程，由弦长公式求出最短弦的长度．

解答 解：（1）直线l的方程：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，
整理得：（2x+y-7）m+（x+y-4）=0，
∵m∈R，∴$\left\{{\begin{array}{l}{2x+y-7=0}\\{x+y-4=0}\end{array}}\right.$，解得x=3，y=1，
即直线l恒过定点D（3，1）…（4分）
把D点的坐标代入圆C的方程：（3-1）²+（1-2）²＜25，
所以点D在圆内，直线l经过圆C内的一点D，
故直线l与圆C相交．…（6分）
（2）当直线l垂直于CD时，被截得的弦长最短
由C（1，2），D（3，1）∴${k_{CD}}=-\frac{1}{2}$，
所以直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的斜率为2，
此时直线l的方程为y-1=2（x-3），即2x-y-5=0…（9分）
又$|CD|=\sqrt{5}$，所以，最短弦长为$2\sqrt{25-5}=4\sqrt{5}$
所以，直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为2x-y-5=0，
最短弦长为$2\sqrt{25-5}=4\sqrt{5}$…（12分）

点评 本题考查直线与圆的综合问题，直线过定点，直线垂直的条件以及直线方程，以及直线与圆相交时的弦长问题，属于中档题．