Question

20．已知函数$f（x）={a_1}x+{a_2}{x^2}+{a_3}{x^3}+…+{a_n}{x^n}$，对于任意n∈N₊均有f（1）=n²+n．
（1）求数列{a_n}的通项公式，并证明数列{a_n}为等差数列；
（2）若n为偶数，且${b_n}={2^{f（-1）}}$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由函数$f（x）={a_1}x+{a_2}{x^2}+{a_3}{x^3}+…+{a_n}{x^n}$，对于任意n∈N₊均有f（1）=n²+n．可得a₁+a₂+…+a_n=n²+n．利用递推关系即可得出．
（2）f（-1）=-a₁+a₂-…-a_n-1+a_n，f（1）=a₁+a₂+…+a_n=n²+n．可得f（-1）+n²+n=2（a₂+a₄+…+a_2k）=2×$\frac{k（4+4k）}{2}$=n（2+n），
解得f（-1）即可得出．

解答 解：（1）∵函数$f（x）={a_1}x+{a_2}{x^2}+{a_3}{x^3}+…+{a_n}{x^n}$，对于任意n∈N₊均有f（1）=n²+n．
∴a₁+a₂+…+a_n=n²+n．
∴当n=1时，a₁=2；
当n≥2时，a₁+a₂+…+a_n-1=（n-1）²+（n-1），可得a_n=2n．
当n=1时也成立，
∴a_n=2n．为等差数列，首项为2，公差为2．
（2）f（-1）=-a₁+a₂-…-a_n-1+a_n，
f（1）=a₁+a₂+…+a_n=n²+n．
∴f（-1）+n²+n=2（a₂+a₄+…+a_2k）=2×$\frac{k（4+4k）}{2}$=n（2+n），
∴f（-1）=n．
∴${b_n}={2^{f（-1）}}$=2ⁿ，
∴数列{b_n}的前n项和S_n=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$=2ⁿ⁺¹-2．

点评 本题考查了递推关系、等差数列的定义通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．