Question

20．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π，b为常数）的一段图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）函数f（x）在y轴右侧的极小值点的横坐标组成数列{a_n}，设右侧的第一个极小值点的横坐标为首项为a₁，试求数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）根据三角函数的图象求出A，ω和φ，b的值即可求函数f（x）的解析式；
（2）求出函数的最小值即函数的极小值，求出数列{a_n}的通项公式，利用裂项法进行求解即可．

解答 解：（1）由图象知函数的最大值为5，最小值为-1，
即$\left\{\begin{array}{l}{A+b=5}\\{-A+b=-1}\end{array}\right.$，得A=3，b=2，
$\frac{T}{4}$=$\frac{5π}{12}-\frac{π}{6}$=$\frac{π}{4}$，
则函数的周期T=π，
即$\frac{2π}{ω}=π$得ω=2，
即f（x）=3sin（2x+φ）+2，
∵f（$\frac{π}{6}$）=3sin（2×$\frac{π}{6}$+φ）+2=5，
即sin（$\frac{π}{3}$+φ）=1，
则$\frac{π}{3}$+φ=$\frac{π}{2}$+2kπ，
得φ=2kπ+$\frac{π}{6}$，
∵0＜φ＜π，
∴当k=0时，φ=$\frac{π}{6}$，
则f（x）=3sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2；
（2）由3sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2=-1，
得sin（2x+$\frac{π}{6}$）=-1，
即2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{3π}{2}$+2kπ，
即x=$\frac{2π}{3}$+kπ，
即函数f（x）的极小值点为x=$\frac{2π}{3}$+kπ，
则右侧的第一个极小值为a₁=$\frac{2π}{3}$，a₂=$\frac{2π}{3}$+π，
则数列{a_n}是一个公差d=π的等差数列，
则a_n=$\frac{2π}{3}$+（n-1）π=$\frac{3n-1}{3}$π，
则$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=（$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$）•$\frac{1}{π}$，
则数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n项和S_n=$\frac{1}{π}$•（$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$-$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$）=$\frac{1}{π}$•（$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$）=$\frac{1}{π}$•（$\frac{3}{2π}$-$\frac{3}{5+3n}$）．

点评 本题主要考查三角函数解析式的求解以及数列求和的计算，根据图象求出A，ω和φ的值是解决本题的关键．，利用裂项法进行求和是解决本题的关键．