Question

15．平面上有以O为圆心，以1为半径的圆，圆上有三点A，B，C，向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$满足等式m$\overrightarrow{OA}$+n$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OC}$，这里m，n∈R、mn≠0．
（1）若$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，证明：m²+n²=1；
（2）若m=n=-1，试判断△ABC的形状并证明．

Answer 1

分析 （1）运用向量垂直的条件：数量积为0，以及平方法，向量的平方即为模的平方，化简整理即可得证；
（2）△ABC的形状为等边三角形．由平方法，运用向量的平方即为模的平方，以及向量的数量积的定义和夹角，即可得到结论．

解答 解：（1）证明：由$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，可得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，
由m$\overrightarrow{OA}$+n$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OC}$，
两边平方可得m²$\overrightarrow{OA}$²+n²$\overrightarrow{OB}$²+2mn$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OC}$²，
由A，B，C在半径为1的圆上，可得：
m²+n²=1；
（2）△ABC的形状为等边三角形．
当m=n=-1，即有$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，
即有$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=-$\overrightarrow{OC}$，
两边平方可得，$\overrightarrow{OA}$²+$\overrightarrow{OB}$²+2$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OC}$²，
即为$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-$\frac{1}{2}$=1•1•cos∠AOB，
可得∠AOB=120°，
同理可得∠BOC=120°，∠COA=120°，
即有△ABC的内角均为60°，
则△ABC的形状为等边三角形．

点评 本题考查向量的数量积的定义和性质，主要考查向量的平方即为模的平方，考查三角形的形状的判断，注意运用平方法，考查运算能力，属于中档题．