Question

6．已知函数f（x）=ax²-2ax+1+b（a＞0）
（1）若f（x）在区间[2，3]上的最大值为4、最小值为1，求a，b的值；
（2）若a=1，b=1，关于x的方程f（|2^x-1|）+k（4-3|2^x-1|）=0，有3个不同的实数解，求实数k的值．

Answer 1

分析 （1）根据f（x）的开口方向和对称轴可知f（x）在[2，3]上是增函数，根据最值列出方程组解出a，b；
（2）令|2^x-1|=t，得到关于t的二次函数h（t），结合t=|2^x-1|的函数图象可判断h（t）的零点分布情况，列出不等式组解出k的值．

解答 解：（1）f（x）=a（x-1）²+1+b-a．
∵a＞0，f（x）的对称轴为x=1，
可得f（x）在[2，3]上为增函数，
故f（2）=1，f（3）=4，
即1+b=1，3a+1+b=4，
解得a=1，b=0；
（2）由题意可得f（x）=x²-2x+2，
∴f（|2^x-1|）+k（4-3|2^x-1|）=0，
即为|2^x-1|²-2|2^x-1|+2+k（4-3|2^x-1|）=0，
即|2^x-1|²-（2+3k）|2^x-1|+2（1+2k）=0，
令|2^x-1|=t，则方程可化为t²-（2+3k）t+2（1+2k）=0（t≥0），
关于x的方程f（|2^x-1|）+k（2-3|2^x-1|）=0有3个不同的实数解，
结合t=|2^x-1|的图象（如右图）可知，
方程t²-（2+3k）t+2（1+2k）=0有两个根t₁，t₂，
且0＜t₁＜1＜t₂或0＜t₁＜1，t₂=1，或0＜t₁＜1，t₂=0，
记h（t）=t²-（2+3k）t+2（1+2k），
则$\left\{\begin{array}{l}{h（0）=2（1+2k）＞0}\\{h（1）=1+k＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{h（0）=2（1+2k）＞0}\\{h（1）=1+k=0}\\{0＜\frac{2+3k}{2}＜1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{1+2k=0}\\{0＜2+3k＜1}\end{array}\right.$．
即有k∈∅或k=-$\frac{1}{2}$．
解得k=-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了二次函数的单调性，二次函数零点分布与系数的关系，属于中档题．