Question

2．已知关于x的方程${e^x}+{e^{-x}}-2a{log_2}（|x|+2）+{a^2}=5$有唯一实数解，则实数a的值为（　　）

• A． -1
• B． 1
• C． -1或3
• D． 1或-3

Answer 1

分析 构造函f（x）=e^x+e^-x-2alog₂（|x|+2）+a²，判断函数是偶函数，根据偶函数的性质先进行求解，然后进行检验即可得到结论．

解答 解：设f（x）=e^x+e^-x-2alog₂（|x|+2）+a²，
则函数f（x）在定义域（-∞，+∞）上为偶函数，
若关于x的方程${e^x}+{e^{-x}}-2a{log_2}（|x|+2）+{a^2}=5$有唯一实数解，
则等价为f（0）=5，
即f（0）=2-2alog₂2+a²=a²-2a+2=5，
则a²-2a-3=0，
得a=3或a=-1，
当a=3时，方程等价为e^x+e^-x-6log₂（|x|+2）+9=5，
即e^x+e^-x+4=6log₂（|x|+2），
作出函数ye^x+e^-x+4和y=6log₂（|x|+2）的图象如图，此时两个函数有3个交点，不满足条件．

当a=-1时，方程等价为e^x+e^-x+2log₂（|x|+2）+1=5，
即2log₂（|x|+2）=4-（e^x+e^-x），
作出函数y=2-（e^x+e^-x）和y=2log₂（|x|+2）的图象如图，此时两个函数有1个交点，满足条件，

综上a=-1，
故选：A．

点评 本题考查了函数的性质的判断与应用及方程的根与函数的关系应用，根据条件构造函数，利用偶函数的对称性建立方程关系，注意进行检验．