Question

17．某厂用甲、乙两种原料生产A、B两种产品，已知生产1吨A产品，1吨B产品分别需要的甲、乙原料数，每种产品可获得的利润数及该厂现有原料数如表所示．

产品 所需原料 原料	A产品 （1吨）	B产品 （1吨）	现有原料 （吨）
甲原料（吨）	4	5	200
乙原料（吨）	3	10	300
利润（万元）	7	12

问：在现有原料下，A、B产品应各生产多少吨才能使利润总额最大？利润总额最大是多少万元？

Answer 1

分析 生产A、B产品分别为x，y吨，利润总额为z元，列出约束条件，作出可行域，根据可行域寻找最优解．

解答 解：设生产A、B产品分别为x，y吨，利润总额为z元，
由题意得$\left\{\begin{array}{l}{4x+5y≤200}\\{3x+10y≤300}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$．
目标函数为z=7x+12y．
作出二元一次不等式组所表示的可行域，如图：

目标函数可变形为$y=-\frac{7}{12}x+\frac{1}{12}z$，
∵-$\frac{4}{5}$＜-$\frac{7}{12}$＜-$\frac{3}{10}$，
∴当$y=-\frac{7}{12}x+\frac{1}{12}z$通过图中的点A时，截距$\frac{1}{12}z$最大，即z最大．
解$\left\{\begin{array}{l}{4x+5y=200}\\{3x+10y=300}\end{array}\right.$得点A坐标为（20，24）．
将点A（20，24）代入z=7x+12y
得z_max=7×20+12×24=428万元．
答：该厂生产A，B两种产品分别为20吨、24吨时利润最大，最大利润为428万元．

点评 本题考查了简单的线性规划应用，根据题意列出约束条件作出可行域是解题关键．