Question

7．已知$\overrightarrow{m}$=（1，cosx），$\overrightarrow{n}$=（t，$\sqrt{3}$sinx-cosx），函数f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$（t∈R）的图象经过点M（$\frac{π}{12}$，0）．
（Ⅰ）求t的值以及函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a=$\frac{cosB+bcosC}{2cosB}$，求f（A）的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的表达式，将M代入f（x），求出t的值，从而求出T，函数f（x）的递增区间；
（Ⅱ）求出sinA=2sinAcosB，求出B的值，从而求出A的范围，进而求出2A-$\frac{π}{6}$的范围，从而求出f（A）的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx-cos²x+t=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$+t，
∵点M（$\frac{π}{12}$，0）在函数图象上，
∴sin（2•$\frac{π}{12}$-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$+t=0，解得：t=$\frac{1}{2}$，
T=$\frac{2π}{2}$=π，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，
∴f（x）在[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，（k∈Z）递增；
（Ⅱ）∵ccosB+bcosC=2acosB，
∴sinCcosB+sinBcosC=2sinAcosB，
∴sin（B+C）=2sinAcosB，即sinA=2sinAcosB，
又∵A∈（0，π），∴sinA≠0，∴cosB=$\frac{1}{2}$，
∵B∈（0，π），∴B=$\frac{π}{3}$，A+C=$\frac{2π}{3}$，
∴0＜A＜$\frac{2π}{3}$，-$\frac{π}{6}$＜2A-$\frac{π}{6}$＜$\frac{7π}{6}$，
∴sin（2A-$\frac{π}{6}$）∈（-$\frac{1}{2}$，1]，
∴f（A）的范围是（-$\frac{1}{2}$，1]．

点评 本题考查了三角函数的周期，函数的单调性问题，考查三角恒等变换，函数的值域问题，是一道中档题．