Question

17．函数f（x）=-x³-mx+2m-1，若函数y=|f（x）|在[1，2]上单调递增，则m的取值范围为m≤-12或-3≤m＜2．

Answer 1

分析 求出f（x）的导数f′（x），讨论m的取值范围，利用f′（x）判断f（x）在x∈[1，2]上的单调性，从而求出函数y=|f（x）|在[1，2]上单调递增的m的取值范围．

解答 解：∵f（x）=-x³-mx+2m-1，
∴f′（x）=-3x²-m，
当m≥0时，f′（x）≤0，f（x）在x∈[1，2]上单调递减，
且f（1）=m-2＜0，
∴f（1）f（2）＞0，
即-9（m-2）＞0，解得m＜2；
取0≤m＜2，满足函数y=|f（x）|在[1，2]上单调递增；
当m＜0时，令f′（x）=0，解得x=±$\sqrt{-\frac{m}{3}}$，
则$\sqrt{-\frac{m}{3}}$≤1时，m≥-3，f（x）在x∈[1，2]上单调性相同，且f（1）=m-2＜0，
令f（1）f（2）＞0，解得m＜2，
∴-3≤m＜0；
$\sqrt{-\frac{m}{3}}$≥2时，m≤-12，f（x）在x∈[1，2]上单调性相同，且f（1）=m-2＜0，
令f（1）f（2）＞0，解得m＜2，
∴m≤-12；
1＜$\sqrt{-\frac{m}{3}}$＜2时，-12＜m＜-3，f（x）在x∈[1，2]上不具有单调性，不满足题意；
综上，m的取值范围是m≤-12或-3≤m＜2．
故答案为：m≤-12或-3≤m＜2．

点评 本题考查了利用导数来研究函数的单调性问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是综合性题目．