Question

5．若存在两个正实数x、y，使得等式x+a（y-2ex）（lny-lnx）=0成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围为a＜0或a≥$\frac{1}{e}$．

Answer 1

分析 根据函数与方程的关系将方程进行转化，利用换元法转化为方程有解，构造函数求函数的导数，利用函数极值和单调性的关系进行求解即可．

解答 解：由x+a（y-2ex）（lny-lnx）=0得x+a（y-2ex）ln$\frac{y}{x}$=0，
即1+a（$\frac{y}{x}$-2e）ln$\frac{y}{x}$=0，
即设t=$\frac{y}{x}$，则t＞0，
则条件等价为1+a（t-2e）lnt=0，
即（t-2e）lnt=$-\frac{1}{a}$有解，
设g（t）=（t-2e）lnt，
g′（t）=lnt+1-$\frac{2e}{t}$为增函数，
∵g′（e）=lne+1-$\frac{2e}{e}$=1+1-2=0，
∴当t＞e时，g′（t）＞0，
当0＜t＜e时，g′（t）＜0，
即当t=e时，函数g（t）取得极小值，为g（e）=（e-2e）lne=-e，
即g（t）≥g（e）=-e，
若（t-2e）lnt=$-\frac{1}{a}$有解，
则$-\frac{1}{a}$≥-e，即$\frac{1}{a}$≤e，
则a＜0或a≥$\frac{1}{e}$，
故答案为：a＜0或a≥$\frac{1}{e}$．

点评 本题主要考查不等式恒成立问题，根据函数与方程的关系，转化为两个函数相交问题，利用构造法和导数法求出函数的极值和最值是解决本题的关键．综合性较强．