Question

20．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$cos²ωx+sinωxcosωx（ω＞0）的周期为π．
（1）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，求函数f（x）的值域；
（2）已知△ABC的内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若f（$\frac{A}{2}$）=$\sqrt{3}$，且a=4，b+c=5，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数恒等变换的应用化简可得f（x）=sin（2ωx+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，利用周期公式可求ω，可得f（x）的解析式，由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，可得：sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，即可求值函数值域．
（2）由f（$\frac{A}{2}$）=$\sqrt{3}$，结合范围A+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$），解得A的值，由余弦定理可得bc的值，利用三角形面积公式即可求值得解．

解答 解：（1）∵f（x）=$\sqrt{3}$cos²ωx+sinωxcosωx=$\sqrt{3}$×$\frac{1+cos2ωx}{2}$+$\frac{1}{2}$sin2ωx=sin（2ωx+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴由题意可得：$\frac{2π}{2ω}$=π，解得：ω=1，可得：f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，可得：sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$∈[0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$+1]．
（2）∵f（$\frac{A}{2}$）=sin（A+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，A+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$），
∴A+$\frac{π}{3}$=$\frac{2π}{3}$，解得：A=$\frac{π}{3}$．
∴由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，可得：16=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc=25-3bc，解得：bc=3，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×3×$$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，周期公式，正弦函数的图象和性质，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，属于中档题．