Question

12．已知函数f（x）=-$\frac{2x}{1+|x|}$，若对区间M=[m，n]，集合N={y|y=f（x），x∈M}，且M=N，则m-n=-2．

Answer 1

分析 由题意写出分段函数，结合定义域和值域相等列式求得m，n的值，则答案可求．

解答 解：∵x∈M，M=[m，n]，
则对于集合N中的函数f（x）的定义域为[m，n]，
对应的f（x）的值域为N=M=[m，n]．
又∵f（x）=-$\frac{2x}{1+|x|}$=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{1+x}-2，x＞0}\\{2-\frac{2}{1-x}，x＜0}\end{array}\right.$，
故当x∈（-∞，+∞）时，函数f（x）是减函数．
故N=[-$\frac{2n}{1+|n|}$，-$\frac{2m}{1+|m|}$]，
由N=M=[m，n]得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{2n}{1+|n|}}\\{n=-\frac{2m}{1+|m|}}\end{array}\right.$，
解得：m=-1，n=1．
∴m-n=-2．
故答案为：-2．

点评 本题考查函数的值域，考查了函数的单调性，体现了数学转化思想方法，是中档题．