Question

8．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，BC=6，tan∠ABC=-2$\sqrt{2}$．
（I）若∠ACD=$\frac{π}{4}$，求AC的长；
（Ⅱ）若BD=9，求△BCD的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由同角的三角函数的关系求出sin∠ABC=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，由正弦定理即可求出AC，
（Ⅱ）分别利用正弦定理和余弦定理和三角形的面积公式即可求出．

解答 解：（Ⅰ）：∵AB∥CD，∠ACD=$\frac{π}{4}$，
∴∠BAC=∠ACD=$\frac{π}{4}$，
∵tan∠ABC=-2$\sqrt{2}$，
∴sin∠ABC=-2$\sqrt{2}$cos∠ABC，
∵sin²∠ABC+cos²∠ABC=1，
∴sin∠ABC=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
由正弦定理可得$\frac{BC}{sin∠BAC}$=$\frac{AC}{sin∠ABC}$，
∴$\frac{6}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{AC}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}$，
∴AC=8，
（Ⅱ）∵AB∥CD，
∴∠BCD=π-∠ABC，
∴sin∠BCD=sin（π-∠ABC）=sin∠ABC=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴cos∠BCD=$\frac{1}{3}$，
由余弦定理可得BD²=BC²+CD²-2BC•CD•cos∠BCD，
即81=36+CD²-2×6×CD×$\frac{1}{3}$，
解得CD=9
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}$CD•BCsin∠BCD=$\frac{1}{2}$×6×9×$\frac{2\sqrt{2}}{3}$=18$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了同角的三角函数的关系和正弦定理和余弦定理以及面积公式，属于基础题．